Modèle standard des particules
Structure nucléaire : modèles en couche et du champ moyen

Les modèles de structure nucléaire les plus connus sont :

• le modèle de la goutte liquide,

• 

  le modèle en couches,
• le modèle du champ moyen qui sera juste évoqué.

Noyaux et modèles et Comment modéliser le noyau ?

Modèle en couches

Le modèle en couches du noyau atomique, analogue à celui des spin-orbitales électroniques, dont la théorisation est encore à l'étude à l'heure actuelle, est fondé sur le fait que les nucléons :

• sont des objets quantiques, donc dans des états quantifiés ;
• sont des fermions, à spin 1/2, qui suivent le principe d'exclusion de Pauli (comme les électrons) ;
• baignent dans un potentiel attractif simple $V(r)$.

Ce modèle macro-microscopique, développé par Maria Goeppert-Mayer (1906-1971) en 1948, suppose que les nucléons se trouvent sur des orbites énergétiques et sont indépendants.

Il a fallu d'abord expliquer les nombres magiques. De nombreuses méthodes ont été utilisées pour essayer de les calculer, en ajoutant au fur à mesure proton et neutron (cf. modèle en couche).

1. On a d'abord considéré que le niveau $n$ correspond à la couche, comme pour le nombre quantique principal électronique, avec la différence majeure qu'on commence la numérotation à 0.

• 

  $n=0$ correspond à deux protons.
• $n=1$ correspond à six protons…

On trouve (n+1)(n+2) dégénérescences avec l'oscillateur harmonique tridimensionnel, en prenant en compte le spin.

$\ell$ est relié à $n$ :

• $\ell\le n$ ;
• si $n$ est pair, $\ell$ est pair ou égal à 0 ;
• si $n$ est impair, $\ell$ est impair.

2. Puis, on s'est servi des nombres quantiques $j$, $j_z$ et la parité pour faire intervenir l'interaction spin-orbite.

• Les couches s, p, d, f… correspondent au nombre quantique secondaire $\ell$ comme pour les électrons.
• Avec l'interaction spin-orbite, les énergies des états du même niveau, mais avec des j différents, ne sont plus identiques. Selon que $\vec S$ et $\vec L$ sont parallèles ou antiparallèles, $j=\ell+1/2$ ou $j=\ell-1/2$
• La parité de la sous-couche est $+$ pour les couches $\ell$ paires (ou nulle), $-$ pour les $\ell$ impaires.

3. Enfin, en 1954, R. D. Woods et David S. Saxon utilisèrent le potentiel de Woods-Saxon, potentiel de champ moyen pour les nucléons (protons et neutrons) à l’intérieur du noyau qui décrit de manière approximative les forces qui s’appliquent entre les nucléons : ce potentiel remplace le puits de potentiel carré (cf. particule dans un puits).

$V(r)=-\dfrac{V_0}{1+exp(\frac{r-R}{a})}$

• où $V_0$, égal à approximativement 50 MeV, représente la profondeur du puits de potentiel,

• 

  $r$ la distance du nucléon au centre du noyau, $a$ est une longueur représentant l’épaisseur de la surface du noyau, approximativement 0,5 fm ;
• $R=r_0A^{1/3}$ est le rayon nucléaire (ou de charge) où $r_0$ est égale à 1,25 fm et $A$ est le nombre de masse.

En combinant l'interaction spin-orbite et le potentiel de Wood-Saxon, on aboutit à ce que :

• les niveaux $\ell\gt0$ sont séparés en états $j=\ell+1/2$ et $j=\ell-1/2$ ;
• l'énergie la plus faible est $j=\ell+1/2$ et non pas $j=\ell-1/2$ ;
• le nombre de protons dans chaque état est égal à $2j+1$.

Soit $n=3$, $\ell=1,\;3. Pour $\ell=3$ par exemple, $j=3+1/2=7/2$ et $j=3-1/2=5/2$, avec $2j+1$ nucléons dans chaque état d'où, 8 et 6.

On arrive à ce modèle de structure nucléaire :

• 1^ère couche (1s) : 2 états - $n=0$ et $j=1/2$ - ;
• 2^ème couche (1p) : 6 états - $n=1$ et $j=1/2,\;3/2$ - ;
• 3^ème couche (2s, 1d) : 12 états - $n=2$ et $j=1/2,\;3/2,\;5/2$ - ;
• 4^ème couche (1f) : 8 états - $n=3$ et $j=7/2$ - ;
• 5^ème couche (2p, 1f, 1g) : 22 états - $n=3$ et $j=1/2,\;3/2,\;5/2$ ; $n=2$ et $j=9/2$ - ;
• 6^ème couche (3s, 2d, 1g, 1h) : 32 états - $n=4$ et $j=1/2,\;3/2,\;5/2,\;7/2$ ; $n=5$ et $j=11/2$ - ;
• 7^ème couche (3p, 2f, 1h, 1i) : 44 états - $n=5$ et $j=1/2,\;3/2,\;5/2,\;7/2,\;9/2$ ; $n=6$ et $j=13/2$ - ;
• 8^ème couche (4s, 3d, 2g, 1i, 1j) : 58 états - $n=6$ et $j=1/2,\;3/2,\;5/2,\;7/2,\;9/2,\;11/2$ ; $n=7$ et $j=15/2$ -.

Si on ajoute le nombre d'états de chaque couche, on retrouve bien les nombres magiques : 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126.

Ce modèle décrit bien les couches et les noyaux dans leur état fondamental qui se remplissent progressivement selon le nombre de nucléons, mais l'énergie de liaison totale est loin d'être exacte.

Modèle du champ moyen

Chaque nucléon est soumis à un champ de potentiel exercé par les autres nucléons ( Champ moyen dépendant du temps et corrélations d'appariement).

1. Ce champ moyen dans l'approche de Hartree-Fock est dit auto-cohérent : les particules indépendantes évoluent dans un champ créé par elles-mêmes, qui dépend de la structure du noyau dont le coeur n'est plus considéré comme inerte.

• Le procédé de résolution des équations Hartree-Fock est itératif, car celles-ci sont en réalité une équation de Schrödinger dans laquelle le potentiel dépend de la densité, c'est-à-dire des fonctions d'onde qu'on cherche à déterminer : on doit donc connaitre les solutions avant de démarrer les calculs.
• Cette approche a été introduite par Douglas Rayner Hartree (1897–1958) et Vladimir Aleksandrovich Fock (1898-1974)

Les solutions des équations brisent souvent la symétrie en provoquant des déformations ou en ne respectant pas la conservation des particules (approche dite Hartree-Fock-Bogolyubov).

2. Il n'y a aucune raison pour que le noyau soit sphérique, comme dans le modèle en couche ( Modèle et déformation : chapitre 3).

On peut l'expliquer succinctement. Les nucléons, comme les électrons, ont un moment angulaire total $j$ dont la projection sur l’axe de quantification vaut $j_z$.

• 

  Pour une projection $j_z$ élevée, la distribution est centrée dans le plan équatorial et donc “ aplatie ". À l’inverse, la distribution est centrée dans le plan perpendiculaire et donc “ allongée ” pour $j_z$ faible.
• La présence de ces orbitales à distribution anisotrope, encore appelées orbitales polarisantes, tend à déformer l’ensemble des nucléons, et donc le champ moyen ( Spectroscopie du noyau : déformations et masses extrême).

Dans le monde sphérique du modèle en couches, l’état $J$ est dégénéré et accueille $2J+1$ nucléons (par exemple, si $J=5/2$, 6 nucléons).

• La déformation lève la dégénérescence des sous-états $|j_z|$. $+j_z$ et $–j_z$ ont le même niveau d’énergie, i.e. un $|j_z|$ donné accueillera 2 nucléons, mais les autres projections auront des énergies différentes. Pour $j=5/2$, on pourra mettre 2 nucléons sur $j_z=\pm5/2$, 2 sur $j_z=\pm3/2$ et 2 sur $j_z=\pm1/2$.
• Il vaut mieux, énergétiquement parlant, placer 2 nucléons sur des niveaux de même énergie correspondant à deux orbites identiques mais avec un sens de rotation différent.

Pour calculer plus précisément les niveaux énergétiques, on se sert alors avec des corrections du modèle de la goutte liquide en y incluant les déformations.

Tout est bien expliqué dans Modèle et déformation : chapitre 3.

Et là, cela devient beaucoup plus compliqué : voir comment modéliser le noyau ? et les pages du net pour en apprendre plus. En outre, les recherches sont encore en cours et le modèle n'est pas encore satisfaisant.

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